[砝码称重问题]给定一架天平，要求用m个砝码称出1~n克范围内的所有物品的重量 ，问应该如何选择砝码。 定理： 由m个数构成的由小到大排列的数列{a(1),a(2),...a(m)}，设A(k)=∑ a(i)， 其中i从1到k， 则 a(1) = 1且a(j+1) <= 2A(j) +1， j取1,2,..,m-1 （1式） 是该数列作为砝码序列可称量{0,1,..,Am}范围内的任意整数重量的充要条件。特 别的，上式取等号时， 该序列是唯一可能的砝码序列，并且有a(j) = 3^(j-1)， 对于j=1,2,..,m 推论： 重量为n的物体要分成m份重量为整数的物体的序列{a(1),a(2),..a(m)}， 设M=∑3^(i-1)，其中i 从1到m，则有三种情况： 1） M<n， 无解； 2） M=n，有唯一的解 a(j)=3^(j-1), j=1,2,..m; 3） M>n，可能有多组解，解为满足（1式）并且∑a(i)=n,其中i从1到m，的所有整 数序列。 定理的证明： （充分性） 用数归法： 当i=1的时候，a(i)=1显然成立； 假设i=k的时候定理充分性成立，即用满足（1）式的前k个砝码可以称量的重量 W(k)为满足0<=W(k)<=A(k) 的所有整数，则i=k+1时，应可以称量W(k+1),应为0<=W(k+1)<=A(k+1)范围内的所 有整数。分段讨论如下 ： (a)对于0<=W(k+1)<=A(k)，显然可以由前k个砝码称量； (b)对于A(k)<W(k+1)<=a(k+1)， 由假设0<=W(k)<=A(k)， 交换左右盘的砝码，可 以产生配合砝码a(k+1) 使用的负砝码为W(k)' 可以是满足-A(k)<=W(k)'<=0的所有整数。与大砝码a(k+1) 一起使用可以得到a (k+1)+W(k)' ，一定可以称量某段连续范围的所有整数，因为a(k+1) <=2A(k)+1， 所以a(k+1)-A(k) <= A(k)+1， 因此a(k+1)+W(k)'产生的下限为a(k+1)-A(k)，上限为a(k+1),所以可以 称量A(k)<W(k+1)<=a (k+1)内的所有W(k+1)； (c)对于a(k+1)<=W(k+1)<=A(k+1)，与(b)同理可以得到称量的上下限分别为： a(k+1)+A(k) = A(k+1)和a (k+1)； 因此当i=k+1的时候定理充分性也成立，由数归法知定理充分性成立。 （必要性） i=1时，显然必须有总量为1的砝码； i>1时，反证之，如果存在某个K，使得（1）不成立，即2A(k)+1<a(k+1)，则重量 A(k)+1既不能用前面的 k-1个砝码称重，又因为a(k+1)-A(k)>A(k)+1而不能用a(k+1)配合着称重。所以矛 盾，因此必要性成立。 推论也可以用数归法简单的证明，这里我就不证了，打字太累了：） 根据以上的定理和推论，可以很容易的求出对于重量为任意的n的物体，用m个砝码 可以称出来的砝码的方 案。当n=∑3^(i-1)， i从1到m的时候，有唯一解a(i)=3^(i-1)，可以改写成 a(i)=2(∑aj)+1，其中j从1 到i-1，一个循环就直接输出了；当n>∑3^(i-1)的时候无解；当n<∑3^(i-1)的时 候只要根据式（1）并保 证∑a(i)=n搜索就可以了。可以递归的搜索求解。
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[【技术文档】]砝码称重问题